Câu hỏi: CSI106 - Phần 2: Hệ đếm và biểu diễn số

Đáp án đúng: "Simplifies addition and subtraction." Trong biểu diễn bù hai, phép trừ được đưa về phép cộng bằng cách cộng với bù hai của số bị trừ, và phép cộng thì làm giống nhau bất kể hai toán hạng âm hay dương, nên phần cứng chỉ cần một mạch cộng duy nhất và không phải so dấu hay so độ lớn trước khi tính. Nhận định "There are two representations for zero." là nhược điểm của biểu diễn dấu và độ lớn cùng biểu diễn bù một, còn bù hai chỉ có duy nhất một mẫu bit cho số không. Nhận định "It uses floating-point numbers." lẫn sang cách biểu diễn số thực, trong khi bù hai dùng cho số nguyên có dấu. Nhận định "It uses more bits for the sign." sai vì bù hai không thêm bit nào, dấu nằm sẵn trong bit trái cùng.

Đáp án đúng: "-8". Với bốn bit bù hai, bit trái cùng mang trọng số âm nên mẫu 1000 có giá trị trừ 2 lũy thừa 3 cộng với 0, tức trừ 8; kiểm lại bằng quy tắc lấy bù hai cũng cho kết quả ấy, vì đảo bit của 1000 được 0111 rồi cộng 1 thành 1000, độ lớn là 8 và bit dấu cho biết đó là số âm. Giá trị "8" không biểu diễn được trên bốn bit bù hai, vì dải chỉ chạy từ trừ 8 đến 7 và mẫu lớn nhất 0111 đã là 7. Giá trị "-0" không tồn tại trong bù hai, số không chỉ có một mẫu duy nhất là 0000. Giá trị "-7" có mẫu 1001, khác mẫu đang được hỏi đúng một bit.

Đáp án đúng: "To fill the memory location to its full capacity". Số 12 ở hệ hai là 1100, chỉ chiếm bốn bit, nhưng ô nhớ 8 bit phải được điền đủ tám vị trí nên bốn chỗ trống bên trái được đặt bằng 0, cho mẫu 00001100; thêm số 0 vào bên trái không làm thay đổi giá trị nên đây chỉ là việc lấp cho đủ chỗ. Lý do "To indicate the number is negative" không thể đúng vì số nguyên không dấu không có bit dấu, và bit 0 ở đầu càng không biểu thị số âm. Lý do "To align the decimal point for floating-point representation" không liên quan, vì đây là số nguyên và không có phần lẻ nào cần căn. Lý do "To compress the data for storage efficiency" trái hẳn tác dụng, vì thêm bit là làm mẫu dài ra cho khớp kích thước ô nhớ chứ không nén.

Đáp án đúng: "Binary". Máy tính được dựng từ các linh kiện chỉ phân biệt tin cậy hai trạng thái điện, có điện và không có điện, nên mọi dữ liệu dù là số, chữ, ảnh hay âm thanh đều phải mã về dãy bit 0 và 1 trước khi xử lý; đó là lý do hệ hai được gọi là ngôn ngữ của máy. Từ "Processing" chỉ hoạt động xử lý, nó không phải tên của một hệ biểu diễn hay một ngôn ngữ. Từ "Kilobyte" là đơn vị đo lượng dữ liệu, chỉ cho biết kích thước chứ không nói gì về cách mã hoá. Từ "Representational" không ứng với bất kỳ hệ biểu diễn nào trong máy tính, nó chỉ là một tính từ nói về việc biểu diễn.

Đáp án đúng: "Base 2 (binary)". Mạch điện tử chỉ giữ ổn định hai mức tín hiệu nên cơ số dùng để lưu và xử lý mọi dữ liệu bên trong máy là cơ số hai, mỗi chữ số ứng với một bit. Hệ "Base 8 (octal)" chỉ là cách viết gọn cho người đọc, mỗi chữ số thay cho ba bit, nhưng máy không lưu dữ liệu theo hệ này. Hệ "Base 10 (decimal)" là hệ của con người, muốn dùng trực tiếp thì linh kiện phải phân biệt được mười mức điện khác nhau, điều vừa khó làm vừa dễ nhiễu. Hệ "Base 16 (hexadecimal)" cũng chỉ là ký hiệu thuận tiện cho con người, mỗi chữ số thay cho bốn bit, thường thấy khi viết địa chỉ hay mã màu, nhưng bên trong máy vẫn là các bit.

Đáp án đúng: "(22A)10". Trong một hệ đếm cơ số b, các chữ số hợp lệ chỉ chạy từ 0 đến b trừ 1; hệ mười vì vậy chỉ dùng mười chữ số từ 0 đến 9 và không có chữ số nào viết bằng chữ cái, nên một ký hiệu chứa chữ cái mà lại ghi cơ số mười là cách viết không hợp lệ. Cách viết "(101)2" hợp lệ vì hệ hai chỉ cần hai chữ số 0 và 1, cả ba chữ số đều nằm trong dải. Cách viết "(131)8" hợp lệ vì hệ tám dùng các chữ số từ 0 đến 7 và không chữ số nào trong đó vượt quá 7. Cách viết "(DEC)16" hợp lệ vì hệ mười sáu dùng mười chữ số rồi thêm sáu chữ cái đầu bảng chữ làm các chữ số từ mười đến mười lăm.

Đáp án đúng: "Repetitive division". Muốn đổi phần nguyên của một số hệ mười sang cơ số khác, ta chia liên tiếp số đó cho cơ số mới, mỗi lần ghi lại số dư và lấy thương làm số bị chia cho lần sau, tới khi thương bằng 0; dãy số dư đọc từ lần cuối về lần đầu chính là kết quả. Cách "Repetitive multiplication" dùng cho phần lẻ sau dấu phẩy, ở đó ta nhân liên tiếp với cơ số và lấy phần nguyên của từng kết quả. Cách "Repetitive addition" không sinh ra được chữ số nào của cơ số mới, vì cộng dồn chỉ làm số lớn thêm. Cách "Repetitive subtraction" chỉ là lối làm phép chia một cách thô sơ, nó không trực tiếp cho dãy số dư theo thứ tự cần dùng.

Đáp án đúng: "1101". Trong biểu diễn dấu và độ lớn, bit trái cùng chỉ dấu với quy ước 0 là dương và 1 là âm, các bit còn lại ghi độ lớn ở hệ hai. Với bốn bit, độ lớn 5 viết trên ba bit là 101, ghép bit dấu 1 vào trước được 1101. Mẫu "0101" có bit dấu 0 nên nó là số dương 5, chỉ khác số cần tìm ở dấu. Mẫu "1010" có bit dấu 1 nhưng ba bit độ lớn là 010 tức 2, nên nó biểu diễn âm 2. Mẫu "1001" cũng có bit dấu 1 nhưng độ lớn 001 tức 1, nên nó là âm 1; lưu ý rằng ở đây không được lấy bù hai, vì cách lấy bù hai của 5 mới cho mẫu 1011.

Đáp án đúng: "1". Trong biểu diễn bù hai, bit trái nhất vừa là bit dấu vừa mang trọng số âm lớn nhất, nên bit này bằng 1 thì số là số âm, bằng 0 thì số không âm. Ví dụ với bốn bit, 1011 có bit đầu là 1 và thật sự bằng âm 5. Mục "0" cho biết số không âm, tức ngược với điều câu hỏi cần. Mục "-1" không dùng được vì một bit chỉ nhận hai giá trị là 0 hoặc 1, không có giá trị âm. Mục "2" cũng không phải giá trị mà một bit biểu diễn được, nó đã vượt ra ngoài hệ nhị phân. Mục "None of the other answers" không đúng vì giá trị 1 đã nằm trong danh sách và là giá trị đúng.

Đáp án đúng: "The value of a digit is determined by its position and base." Câu hỏi tìm điều KHÔNG đúng, và mệnh đề này lại chính là định nghĩa của hệ có vị trí: ở đó giá trị một chữ số bằng chính nó nhân với cơ số luỹ thừa vị trí, nên số 2 trong 25 khác số 2 trong 52. Hệ không vị trí thì ngược lại, mỗi ký hiệu mang giá trị cố định dù đứng ở đâu. Mục "It does not depend on the position of digits." là mô tả đúng của hệ không vị trí nên không phải thứ cần chọn. Mục "It can represent numbers using symbols only." cũng đúng, vì số được viết bằng một tập ký hiệu rồi cộng trừ các ký hiệu đó lại. Mục "Roman numerals are an example of nonpositional systems." đúng nữa, số La Mã là ví dụ chuẩn, trong đó XII bằng mười cộng một cộng một.

Đáp án đúng: "134". Trong dạng dấu phẩy động, trường số mũ không lưu số mũ thật mà lưu số mũ đã cộng thêm một độ lệch để tránh phải ghi dấu. Với Excess-127, độ lệch là 127, số mũ thật ở đây là 7, nên giá trị lưu trong trường số mũ bằng 7 cộng 127, tức 134, viết nhị phân tám bit là 1000 0110. Mục "7" là số mũ thật chưa cộng độ lệch, nếu ghi 7 vào trường thì khi đọc ra máy hiểu số mũ là 7 trừ 127 bằng âm 120. Mục "-7" vừa sai dấu vừa không phải dạng lưu được, trường số mũ chỉ chứa số không âm. Mục "120" lấy 127 trừ 7, tức trừ thay vì cộng độ lệch, đó là cách tính cho số mũ âm 7.

Đáp án đúng: "1011". Cách tìm biểu diễn bù hai của một số âm gồm ba bước: viết trị tuyệt đối trên bốn bit được 0101, đảo tất cả các bit được 1010, rồi cộng thêm 1 được 1011. Kiểm lại theo trọng số, bit trái nhất mang trọng số âm 8 nên 1011 bằng âm 8 cộng 2 cộng 1, đúng bằng âm 5; phép kiểm hai chiều này khép kín nên kết quả không còn chỗ nghi ngờ. Mục "1101" bằng âm 8 cộng 4 cộng 1, tức âm 3. Mục "1110" bằng âm 8 cộng 4 cộng 2, tức âm 2. Mục "1100" bằng âm 8 cộng 4, tức âm 4. Cả ba đều có bit dấu bằng 1 nên đều là số âm, nhưng giá trị lệch so với yêu cầu.

Đáp án đúng: "325.6". Phần nguyên đổi bằng cách chia liên tiếp cho 8 và lấy số dư từ dưới lên: 213 chia 8 bằng 26 dư 5, 26 chia 8 bằng 3 dư 2, 3 chia 8 bằng 0 dư 3, đọc ngược được 325. Phần lẻ đổi bằng cách nhân liên tiếp với 8 và lấy phần nguyên: 0,75 nhân 8 bằng 6,0 nên được chữ số 6 và dừng. Kiểm lại 3 nhân 64 cộng 2 nhân 8 cộng 5 bằng 213, còn 6 chia 8 bằng 0,75. Mục "225.7" cho 2 nhân 64 cộng 2 nhân 8 cộng 5 bằng 181 và phần lẻ 0,875. Mục "235.6" cho 2 nhân 64 cộng 3 nhân 8 cộng 5 bằng 157. Mục "322.5" cho 3 nhân 64 cộng 2 nhân 8 cộng 2 bằng 210 và phần lẻ 0,625.

Đáp án đúng: "531". Đổi sang hệ tám bằng cách chia liên tiếp cho 8 rồi đọc các số dư từ dưới lên: 345 chia 8 bằng 43 dư 1, 43 chia 8 bằng 5 dư 3, 5 chia 8 bằng 0 dư 5, ghép lại được 531. Kiểm ngược theo trọng số: 5 nhân 64 cộng 3 nhân 8 cộng 1 bằng 320 cộng 24 cộng 1, đúng bằng 345, nên kết quả này khép kín về số học. Mục "521" cho 5 nhân 64 cộng 2 nhân 8 cộng 1 bằng 337, thiếu 8 so với yêu cầu. Mục "505" cho 5 nhân 64 cộng 0 cộng 5 bằng 325. Mục "515" cho 5 nhân 64 cộng 1 nhân 8 cộng 5 bằng 333. Cách kiểm nhanh là nhân ngược lại theo trọng số 64, 8 và 1 rồi so với số thập phân ban đầu.

Đáp án đúng: "00001111". Số 15 phân tích thành 8 + 4 + 2 + 1, nghĩa là bốn bit trọng số thấp đều phải bằng 1; ô nhớ rộng 8 bit mà số lại không dấu nên bốn bit cao chỉ việc bù 0, cho mẫu 00001111. "00001110" tắt bit trọng số 1 nên chỉ bằng 8 + 4 + 2 = 14, hụt đúng một đơn vị. "11110000" đặt bốn bit 1 vào nửa cao, nơi trọng số lần lượt là 128, 64, 32 và 16, nên giá trị thành 240; đây là lỗi hay gặp khi viết các bit theo chiều ngược lại. "11111111" bật cả tám bit nên bằng 255, tức giá trị lớn nhất mà một byte không dấu chứa được chứ không phải 15.

Đáp án đúng: "(E1)16". Đổi -31 sang bù hai 8 bit theo ba bước: viết 31 thành 0001 1111, đảo mọi bit được 1110 0000, cộng thêm 1 được 1110 0001; tách thành hai nhóm bốn bit 1110 và 0001 rồi đọc theo hệ mười sáu được E1. "(0001 1111)2" chính là 31 ở dạng dương, chưa qua phép đảo bit và cộng 1 nên mang dấu dương. "(301)8" quy ra thập phân là 193, tức mẫu bit 1100 0001, đọc theo bù hai thì bằng -63 chứ không phải -31. "(32)10" là số dương 32, không liên quan gì tới cách biểu diễn số âm.

Đáp án đúng: "-8 to +7". Với bù hai trên 4 bit, 16 mẫu bit được chia đôi: 0000 đến 0111 biểu diễn 0 tới 7, còn 1000 đến 1111 biểu diễn -8 tới -1. Vì số 0 chỉ có một mẫu bit duy nhất nên phía âm nhận thêm được một giá trị, dải trở thành -8 tới +7. "0 to 15" là dải của số nguyên không dấu, nơi không bit nào dành cho dấu. "-7 to +7" là dải của biểu diễn dấu-và-độ-lớn, cách đó có hai mẫu bit cùng chỉ số 0 nên mất đi một giá trị. "-15 to +15" cần tới 31 mẫu bit khác nhau, vượt quá 16 tổ hợp mà 4 bit tạo ra được.

Đáp án đúng: "731". Mỗi bit trong 1011011011 mang một trọng số là luỹ thừa của 2, tính từ phải sang trái bắt đầu ở 1; các bit bằng 1 nằm tại trọng số 512, 128, 64, 16, 8, 2 và 1, cộng lại được 512 + 128 + 64 + 16 + 8 + 2 + 1 = 731. "721" nhỏ hơn kết quả 10 đơn vị, muốn có nó thì phải tắt hai bit trọng số 8 và 2 vốn đang bật. "739" lớn hơn 8 đơn vị, nghĩa là bit trọng số 8 phải được đếm hai lần, điều không thể xảy ra. "743" lớn hơn tới 12 đơn vị nên càng không ứng với mẫu bit đã cho.

Đáp án đúng: "8". Cơ số của một hệ đếm là số chữ số khác nhau mà hệ đó dùng, đồng thời là trọng số nhân thêm mỗi khi dịch sang bên trái một vị trí; hệ bát phân dùng các chữ số từ 0 tới 7, vừa đúng tám chữ số, nên cơ số bằng 8. "2" là cơ số của hệ nhị phân, hệ chỉ có hai chữ số 0 với 1 và là cách máy tính lưu dữ liệu. "10" là cơ số của hệ thập phân, hệ đếm thường ngày với mười chữ số từ 0 tới 9. "16" là cơ số của hệ thập lục phân, dùng mười sáu chữ số trong đó sáu chữ số cuối được viết bằng chữ cái.

Đáp án đúng: "EA". Cách đổi là chia liên tiếp cho cơ số 16: lấy 234 chia 16 được thương 14 và dư 10, thương lại nhỏ hơn 16 nên dừng; trong hệ mười sáu, giá trị 14 viết là E còn giá trị 10 viết là A, xếp thương trước dư sau thành EA. Kiểm lại cho chắc: 14 nhân 16 rồi cộng 10 đúng bằng 234. "EF" đọc ra 14 nhân 16 cộng 15 bằng 239, tức phần dư bị lấy sai. "AE" đảo ngược hai chữ số nên thành 10 nhân 16 cộng 14 bằng 174, lỗi hay gặp khi viết dư trước thương. "AA" cho cả hai vị trí cùng giá trị 10 nên bằng 170, nghĩa là phần thương cũng bị lấy sai theo.